[筆記]內積、功之物理意義

歐幾里得空間中，內積可以很容易地由「和角公式」求得。

就是兩向量之長度乘上其夾角。

可以想成，a在b向量的投影乘上b的長度，或b在a向量的投影乘上a的長度。所以功的定義（如下）即表示：該力對於該路徑所貢獻的能量。如果路徑和力的方向相反，則功就是負的。

A. 對一個落體而言，重力所做的功：

=

=

也就是說，有沒有初始速度，重力所做的功是不同的。由內積的結果可預測重力作的功有時為正，有時為負，也有是零的時候。

重力所做之功，即該物體動能的變化。

B.
若是圓週運動，由於力持續地和v垂直，則累計一圈的功為0。但未完成一圈時，功不為零。

若在重力場中，一個封閉的物體路徑代表重力所作之功為零，而另一股致使物體完成封閉路徑的力，其所做之工亦為零。路徑若非封閉，則重力、及移動物體之力所做的功皆不為零。


C.桌上的一本書，儘管桌對書有支持力，但因沒有位移而沒有做功。


這就是「功」的定義，跟能量有沒有耗損沒有關係。