如是我學: 5月 2014

2014年5月30日星期五

[心得] v=w x r

如圖所示，剛體在xy平面轉動的半徑為r, 其中一個粒子的速度為v，r向量的座標是(x, y, 0)。

如圖則知，速度的分量應和r向量如下，則速度為角速度x旋轉半徑。

有一向量w, 其分量是wi, wj, wk。如果我們將w 和 r 外積求得一向量：

根據圖示速度v的分量是：

即

若w為此向量，則w和r的外積即是v:

2014年5月22日星期四

1. 相對性原理：意思是說，在同一個座標系中，內部物體的運動狀態不會因座標系整體是否和座標系外的物體有相對運動，而有改變。否則我們就可以測得座標系的運動速度。但加速度卻是可以感知的。

2. Michelson-Morley Experiment：如果地球在公轉軌道上運動，那麼相對於太陽是有速度的。如果我們可以利用光要走的距離不同，而測出不同的干涉現象，那麼即可求知地球公轉的速度。但實際上，這個實驗失敗了，但卻引起更大的科學發現。（這個實驗本來是要找相對於「以太」的速度）

以光源的觀點

測試儀器往右走了ut的距離，所以光要走到E的距離（E的位置變成了E'）是:

而從E到B(B的位置變成了B'), 光要走的距離是：

可算出兩個時間分別為：

而光向上走的距離應是斜邊，其平方應等於垂直距離平方加上儀器前進距離的平方。

水平方向的行走時間應和垂直方向相同。

即，

但根據相對性原理，在同一運動中的座標系內，t1+t2=2L/c, t3=2L/c。此時如果水平長度發生勞倫茲收縮，則以光源的觀點來看，水平方向的時間和垂直方向的時間就會一樣：

垂直方向因為沒有相對運動，所以未發生勞倫茲收縮，所以不修正。t1, t2條正後，水平和垂直的時間就相等。

3. Lorentz Transformation：勞倫茲根據上述實驗及龐卡赫的想法，指出，觀察者在觀察一個運動中的座標系時，空間會發生勞倫茲收縮（Lorentz contraction），也因此提出了勞倫茲變換，來說明觀察者對運動中的系統所觀測到的改變。並且也注意到，在運動的系統中，同時（Simultaneity）發生的事，對系統外的觀察者來說不是同時。所以簡化為一維的勞倫茲變換如下：

4. 如果有個光時鐘是光上下來回做為一單位時間（如圖），那麼外境觀察者看到運動中的光時鐘的路徑應為c，系統運動速度為u。但在系統中光行走的路徑則是

。

所以觀察者看到的光鐘所要走的路徑較長，但又同為一單位時間，所以在觀察者眼中，運動中的光鐘走的比較慢。（假設光速固定不變）

4. 用修正後的質量推出質能互換公式，因為運動中的質量為：

所以用泰勒展開式，即可得到：

也就是說，物體運動中質量的改變量和其動能成正比。

而總能量即是內能（intrinsic energy）或靜能（rest energy）加上動量：

2014年5月19日星期一

[心得] 圓週運動之加速度

假設圓週運動的軌跡半徑近似R，則其在短期內以速率v行走的弧長是S。

可得到該角度約為：

（1）

假設垂直方向的速度變化如下：

近似於：

（2）

則由（2），垂直方向的速度改變為：

（3）

則由（3），垂直方向的速度改變率為：

2014年5月18日星期日

[筆記] 火箭推進

假設火箭的初始質量是m，以噴出物的速度是u，噴出物質的速率是dm/dt。

力是動量的變化率，加速度即是力（反作用力）除以火箭質量。這是動量守恆。

（1）

火箭的速度是加速度乘上加速的時間。因為火箭質量會隨時間改變，故應積分得之。

（2）

整理可得（3）。計算脫離速度即可估算u及dm。

[筆記] 粒子加速器

基本設定：帶電粒子的速度是v，兩側金屬的電壓差是Vp、距離是d，加速半徑是R。

作用力即ma，等於粒子帶電量乘上電場。

（1）

能量守恆下，粒子進入電場前的動能即是之前的電壓和電量相乘。

（2）

整理（1）、（2）可得R。

（3）

另外加速器的電壓就是金屬板間的電場差。

可得電場為

（4）

整理（3）、（4）可得R。

2014年5月15日星期四

[筆記] 測量、誤差

A. 這種表示式，代表這數據的誤差是正負0.0021

1.6454(21): 1.6454 +- 0.0021

B. 也可以用比例（fractal)、百分比(percentage)的誤差表示式：47 ohms +- 10%

例如比例錯誤是 (0.02 mm)/(56.47 mm), 或是大約 0.0004; 百分比的誤差為 (0.0004)(100%), 或是大約 0.04%

C. 有效數字（significant figures）

如2.91 mm, 有三位有效數字。以這種表示方式，代表前兩位是正確的，而最後一位是不確定的（uncertain）。最後一位是百分位（hundredths），所以不確定性（uncertainty）是大約 0.01 mm。

又如137 km 也有三位有效數字，但不確定性是大約1 km。

D. 123.62 + 8.9 = 132.5. 雖然 123.62 的不確定性是大約 0.01，但8.9 的不確定性是大約 0.1。所以他們的和的不確定性也是大約 0.1，而應寫成132.5。

E. 假設你畫了一個大圓，並測量了圓周和直徑，分別是424 mm 和 135 mm 。所以你得到的圓周率是(424 mm)／(135 mm) = 3.140740741. 這看起來和直正的 pi不同，但請記住你的測量有三個有效數字，所以測出的pi應該也只有三位有效數字，即 3.14。

F. 用科學符號來表示數字時，也適用相同法則：光速是384,000,000 m，但這不表示有效數字是1公尺，而要寫成這種形式，

384,000,000 m = 3.84 * 108 m

以此形式，我們可以表達其有效數字是三位。數字 4.00 * 10-7 也有三位有效數字，即使後兩位是零。

G. 精確度（precision）和正確(accuracy)不同。

一個便宜的手錶給出一個時間：早上10:35:17，很精確 (精確到秒)，但如果它走了慢了些，那這個值就不正確了。