以無規行走為例, 可以向X方向或-X方向任意行走。
走了第一步時, 距離原點的距離的期望值如下所示。
, 距離的期望值也為1。
，位置平方的期望值也是距離平方的期望值也為1。
那麼走了第N步時，必是由第N-1步而來，則可能離原點又近了些(一步)或遠了些(一步)，則距離平方即前一步加1或減1的平方。但兩者的機率相同。
所以第N步時的期望值則是由上式各乘二分之一再相加，其結果為第(1)式。
（1）
（2）
那麼(1)式是否可以很直覺的變成(2)式? 也就是第N-1步的距離和第D-1步的期望值，在此是否可以直接替換? 由無規行走的本質來看是可以的、說得通的。
那麼用以下三式推導是否也可行？
（3）
（4）
無規行走向兩個方向，其實和硬幣的正(Head)反面(Tail)相同，其數目之差的絶對值就是距離(第(5)式)。
（5）
「正面的次數」和「正面的次數的期望值」的差距則為(6)式。套用第(4)、(6)式，則得第(7)式。(如果是公正硬幣的話)
在此「正面的次數的期望值」很合理的猜想是N/2。
1. 無規行走N步時，向右走的期望值應也是N/2。那麼距離的期望值若由此來看，則應是0才對。
2. 以樣本空間的概念來看, 因為距離是正值, 所以即使走反向也是以累加的形勢貢獻給距離的期望值。
3. 但若以X座標來看, 則有正有負, 那X座標的期望值則是0。
4. 這是期望「值」的定義造成的結果。
（6）
（7）如果以實際丟出正面的次數(NH)來看丟出正面的機率P(H)，其真正的機率會落在第(8)式定義的區間中。也就是說，如果1/2在你測試後算得的區間時，這硬幣可以說是「公正」硬幣。
（8）
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